Wiskundig kristal is tweeling van diamant • Metaal Magazine Ga naar hoofdinhoud

Wiskundig kristal is tweeling van diamant

Al eeuwen worden mensen betoverd door de glinstering
in diamanten. De Japanse wiskundige Toshikazu Sunada heeft de kristalstructuur
van diamanten wiskundig geanalyseerd. Van de oneindig mogelijke
kristalstructuren is er slechts één die dezelfde bijzondere eigenschappen heeft
als de diamant. Van dit kristal, door Sunada het ‘K4-kristal’ gedoopt, is echter
onbekend of het in de natuur voorkomt.

Een kristal is een hoeveelheid ordelijk gerangschikte atomen, moleculen of ionen. Van een kristal kun je een wiskundig model maken door hem als oneindige graaf te representeren: de atomen zijn de knopen van de graaf, de chemische verbindingen tussen de atomen zijn de lijnen van de graaf. Een kristal is nu opgebouwd uit een basisgraaf waarvan kopieën op een periodieke wijze aan elkaar gehangen worden. Er zijn dus twee patronen in een kristal: het patroon van de bindingen tussen de atomen en het periodieke patroon van de kopieën. Door het variëren van de basisgrafen en de manier waarop ze aan elkaar hangen, kun je oneindig veel kristallen beschrijven.
 
Een graaf is een schematische weergave van bijvoorbeeld plaatsen en wegen tussen die plaatsen. De plaatsen heten in de graaf knopen. Ook een kristalstructuur kun je als graaf weergeven: de atomen zijn de knopen van de graaf, de chemische verbindingen tussen de atomen zijn de wegen die de knopen met elkaar verbinden. Hiernaast zie je een graaf met vier knopen; elk tweetal knopen is met elkaar verbonden. In de wiskunde heet deze graaf K4.
 
Bijzondere eigenschappen
De kristalstructuur van een diamant heeft twee speciale eigenschappen die de diamant onderscheiden van andere kristallen. De eerste eigenschap gaat over de ordening van de aan elkaar gehangen kopieën van de basisgrafen. De ene ordening vertoont meer symmetrie dan de andere. Wanneer je een a-symmetrische structuur vervormt zonder de lijnen in de graaf te verbreken zonder de periodiciteit te veranderen, krijg je in sommige gevallen een structuur die meer symmetrie bevat. Bij de kristalstructuur van een diamant heeft vervormen geen zin: welke vervorming je ook toepast, de structuur zal niet symmetrischer worden. Sunada spreekt van ‘maximale symmetrie’.
 
Hetzelfde aanzicht
Een tweede speciale eigenschap van de diamant is wat Sunada ‘sterke isotropie’ noemt. Deze eigenschap is vergelijkbaar met de rotatie-eigenschap van een cirkel: het maakt niet uit hoe je een cirkel draait, het ziet er altijd hetzelfde uit. De kristalstructuur van een diamant heeft een soortgelijke eigenschap: wanneer je de graaf bekijkt vanuit de richting van één van zijn lijnen en het vervolgens roteert naar een richting van een andere lijn, dan zie je geen verschil.
 
Voor zover bekend, bestaat van het K4-kristal alleen nog maar de wiskundige beschrijving. In de natuur is hij nog nooit aangetroffen. Maar er blijft hoop: in 1996 kregen Robert Curl, Harold Kroto en Richard Smalley de Nobelprijs voor chemie, omdat zij in 1990 de zogeheten ‘buckyball-kristallen’ hadden ontdekt. Misschien dat ook de K4 ooit in de natuur wordt ontdekt.

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.

Deze site gebruikt Akismet om spam te verminderen. Bekijk hoe je reactie-gegevens worden verwerkt.

x
Mis niet langer het laatste nieuws

Schrijf u nu in voor onze nieuwsbrief.

Inschrijven